Catatan Tentang Aljabar Linear

25 Aug, 2026

Jadi, akhir-akhir ini, saya sedang semangat-semangatnya belajar aljabar linear. Ada beberapa sumber yang saya pakai untuk belajar:

1. Seri video MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005.
2. Introduction to Linear Algebra karangan Gilbert Strang.
3. Seri video Essence of linear algebra dari 3Blue1Brown.

Dari sumber-sumber tersebut, saya belajar hal fundamental dalam konsep $A𝐱=𝐛$ yang menjadi salah satu hal yang sering dibahas di topik aljabar linear. Untuk contoh kasus, saya coba gunakan dua persamaan sederhana:

$$ \begin{aligned} 3x - y &= 5\\ x + y &= 3 \end{aligned} $$

Pelajaran SMP: Row Picture

Seperti pada zaman SMP, permasalahan ini dapat dibuat grafik dan dicari solusinya. Tinggal membuat garis $3x-y=5$ dan $x+y=3$. Titik potong kedua garis tersebut adalah solusi dari permasalahan ini. Dalam kasus ini, solusinya adalah titik $(2,1)$.

Sangat sederhana. Bisa diselesaikan dengan cukup mudah menggunakan proses eliminasi atau substitusi. Kalau matriksnya besar, bisa menggunakan langkah gaussian elimination. Jadi, absolutely no problem here, EZ (merasa sombong).

New Insight: Column Picture

$$ x\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} $$

Sekarang sudut pandang permasalahannya diubah. Yang dicari bukan lagi titik potong dari dua garis, tetapi mencari dua skalar $x$ dan $y$ yang membuat kombinasi kedua column vector menghasilkan vektor $𝐛$.

Solusinya adalah $x=2$ dan $y=1$. Sama persis seperti row picture.

$$ \begin{aligned} x\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}\\ 2\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix} + 1 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}6\\2\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}5\\3\end{bmatrix} \end{aligned} $$

Agak textbook dikit, biasanya bentuk kedua kolom di atas dituliskan menggunakan simbol $u$ dan $v$, sedangkan koefisien skalar $x$ dan $y$ biasanya ditulis menggunakan simbol $c$ dan $d$.

$$ u=\begin{bmatrix}3\\ 1\end{bmatrix},\quad v=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} $$

Dalam bentuk textbook, biasanya ditulis sebagai:

$$ \begin{aligned} \underbrace{x}_c \underbrace{\begin{bmatrix}3\\ 1\end{bmatrix}}_u + \underbrace{y}_d \underbrace{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}_v &= \underbrace{\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}}_b\\ cu + dv &= b \end{aligned} $$

Somehow, Gilbert Strang menekankan mahasiswanya untuk lebih mendalami bentuk column picture. Saya menduga alasan beliau adalah karena column picture bisa menunjukkan bahwa seluruh ${ℝ}^2$ (bidang dua dimensi) dapat dijangkau dengan $cu+dv$¹. Ini adalah simulasinya yang iseng-iseng saya bikin di GeoGebra.

Logika saya bilang kalo sebenernya row picture juga bisa digunakan untuk menghasilkan titik solusi di seluruh ${ℝ}^2$. Akan tetapi, sepertinya proses untuk "randomisasi" kedua garis persamaan tersebut tidak memiliki pola yang jelas. Misalnya jika sebuah garis ingin diputar, garis tersebut harus diputar terhadap titik mana? Terus, bagaimana proses rotasi garis persamaan tersebut berhubungan dengan garis lainnya dan keseluruhan sistem persamaan?

Agak berbeda dengan column picture. Setiap komponen memiliki peran yang lebih jelas. Kolom bisa dilihat sebagai vektor, sementara variabel $c$ dan $d$ berperan sebagai skalar yang mengatur kombinasi kedua vektor. Dengan mengubah nilai skalar, bisa dilihat bagaimana dampaknya terhadap vektor $u$, $v$, dan vektor hasil $b$. Entahlah, mungkin hanya perasaan saya saja.

Bentuk Matriks

Kedua persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks $A𝐱=𝐛$ seperti ini.

$$ \underbrace{ \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1 & 1 \end{bmatrix} }_{A} \underbrace{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} }_{\mathbf{x}} = \underbrace{ \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} }_{\mathbf{b}} $$

Bentuk matriks ini adalah bentuk yang elegan untuk meringkas row picture dan column picture. Jika dilakukan matrix $A$ dikalikan dengan vektor $𝐱$ dengan hasil akhir vektor $𝐛$, maka bentuknya akan mirip row picture.

$$ A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 3x - y\\ x + y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} $$

Sedangkan jika perkalian tersebut dilihat dari perkalian skalar dari elemen-elemen vektor $𝐱$ terhadap $A$, maka bentuknya akan menjadi column picture.

$$ x \begin{bmatrix}3\\ 1\end{bmatrix} + y \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix}\\ $$

Sebetulnya semua tetek bengek ini bisa dijelaskan dengan lebih sederhana. Dan bisa dengan jelas terlihat kalau cara saya menulis di sini malah bikin ribet sendiri 🤣. Ada matriks $A$ yang tiba-tiba dipecah jadi kolom $u$ dan $v$, terus ada vektor $𝐱$ yang berisi variabel $x$ dan $y$, lalu tiba-tiba saya ganti nama variabel-variabelnya menjadi $c$ dan $d$, dan segala macam keruwetan gramatikal lainnya. Tapi tenang, keruwetan ini belum selesai, masih ada variabel baru bernama $\hat{i}$ dan $\hat{j}$ 😈.

Final Boss: $A$ Sebagai Matriks Transformasi

Setelah diajari oleh Pak Gilbert untuk melihat bentuk sistem persamaan linear sebagai $A𝐱=𝐛$, saya menyimpulkan bahwa matriks $A$ itu hanyalah matriks koefisien yang akan digunakan untuk mencari solusi, yaitu vektor $𝐱$.

Pandangan saya berubah total ketika saya melihat (lagi) video dari 3Blue1Brown tentang matriks transformasi. Aljabar linear memiliki kaitan yang sangat erat dengan bab "vektor" yang saya pelajari di mata kuliah Fisika Dasar: Mekanika waktu semester 1 lalu. Di bab tersebut, saya belajar bahwa ada makhluk yang namanya $\hat{i}$ (satu satuan vektor pada sumbu $x$) dan $\hat{j}$ (satu satuan vektor pada sumbu $y$).

Dari videonya Pak 3B1B, saya mulai memahami betapa sakti matriks $A$ ini. Dia memiliki kekuatan yang lebih besar dari yang saya bayangkan. Dia bukan hanya sekadar kumpulan koefisien. Diam-diam dia adalah makhluk yang melakukan transformasi di seluruh ruang dengan cara mengubah $\hat{i}$ dan $\hat{j}$ 🤣.

Di buku fisika, $\hat{i}$ dan $\hat{j}$ diperkenalkan sebagai satu satuan vektor ke arah sumbu $x$ dan $y$, sehingga bisa ditulis

$$ \hat{i}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad \hat{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} $$

Keduanya kemudian menjadi basis untuk ${ℝ}^2$, di mana ketika mereka berdua ditulis berdampingan ...

$$ \begin{bmatrix} | & |\\ \hat{i} & \hat{j}\\ | & | \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I $$

... secara kebetulan berbentuk matriks identitas (matriks $I$)². Basis dalam bentuk matriks identitas ini dapat diubah oleh matriks lain yang akan melakukan transformasi basis... whatever .

Saya coba buat menjadi dongeng aja.

Di sebuah dunia ${ℝ}^2$, hidup seorang matriks basis $I$. Dia mengatur ruang dengan sangat bijaksana sehingga seluruh makhluk vektor yang tinggal di sana hidup dengan bahagia. Satu vektor bernama $𝐱$ memiliki arah $(2,1)$, sebuah arah yang sama sejak dia dilahirkan.

$$ \underbrace{\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}}_I \underbrace{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}}_\mathbf{x} = \underbrace{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}}_\mathbf{x} $$

Kemudian tiba-tiba datang sebuah matriks $A$. Dia membuat matriks $I$ menjadi kehilangan identitasnya.

$$ \underbrace{\begin{bmatrix}3 & -1\\1 & 1\end{bmatrix}}_A \underbrace{\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}}_I = \underbrace{\begin{bmatrix}3 & -1\\1 & 1\end{bmatrix}}_A $$

Seluruh dunia ${ℝ}^2$ terguncang! Ruang menjadi terdistorsi. $A$ kini mengatur dan mengubah seluruh ruang ${\mathbb{R}}^{\mathbb{2}}$. Seluruh vektor menjadi berubah arahnya. Termasuk juga, si vektor $𝐱$. Dulu dia bernama $𝐱$ dan mengarah ke (2,1). Kini karena perubahan yang terjadi, dia berganti nama menjadi $𝐛$ dan mengarah ke (5,3).

$$ \underbrace{\begin{bmatrix}3 & -1\\1 & 1\end{bmatrix}}_A \underbrace{\begin{bmatrix}2 \\1 \end{bmatrix}}_\mathbf{x} = \underbrace{\begin{bmatrix}5 \\3 \end{bmatrix}}_\mathbf{b} $$

Tamatlah sudah alkisah kami. Terima kasih dan jumpa lagi.

Okay this is stupid. Tapi kira-kira begitulah insight besar yang akhirnya saya dapat. Matriks $A$ tidak hanya mengubah $𝐱$. Matriks $A$ mengubah SELURUH ruang sehingga perubahan $𝐱$ menjadi $𝐛$ hanyalah satu konsekuensi karena perubahan ruang itu. Simulasi transformasi linear juga iseng saya buat di GeoGebra.

Kepada Diriku di Masa Depan

I know that for you, these things will be obvious already. Saya hanya ingin kamu mengingat bagaimana dirimu di masa lalu mencoba merangkum berjam-jam video, berlembar-lembar halaman buku, dan coretan-coretan, hingga semua experience itu terkompresi secara bodoh dalam post jelek ini.

Lebih dalam lagi, saya ingin kamu mengingat bagaimana perasaanmu ketika melihat dua garis berpotongan (row picture) dan dua vektor yang arahnya bisa diatur ke mana saja (column picture). Waktu itu kamu cuma bilang, "Hmmm, menarik. Ayo kita gali lebih dalam." Tapi begitu kamu sadar bahwa $A$ adalah instruksi yang mengubah seluruh geometri ${ℝ}^2$, kamu langsung sulit tidur karena membayangkan betapa saktinya makhluk $A$ ini 🤣.

Dan bagaimana kamu menahan diri untuk tidak menulis tentang singularity (karena $A$ yang memerintahkan seluruh bidang untuk collapse), Eigenvalue & Eigenvector (yang belum kamu pahami sepenuhnya), dan printilan-printilan lainnya.

Dan kepada semua yang membaca, termasuk jika kamu bukan diriku di masa depan... jika kamu masih betah sampai titik ini, terima kasih banyak sudah membaca.

Catatan Kaki: