Saya Hanya Ingin Menghitung Tabungan

27 Jul, 2026

Akhirnya kuliah semester ini selesai juga 🎉🎉🎉.

Selama satu semester ini banyak sekali ilmu yang saya pelajari seperti persamaan Bernoulli dalam mekanika fluida, metode irisan Bishop sederhana dalam analisis kestabilan lereng, menggunakan gambar untuk menghitung gaya dalam analisis rangka batang, dan banyak ilmu lain yang saya tidak menyangka akan saya dapatkan.

Dan seperti biasa, ketika tidak ada PR dan tugas besar, otak malah mencari masalah baru untuk dipikirkan. Saya tiba-tiba kepikiran kalau saya menyisihkan Rp100.000 setiap bulan ke reksa dana dengan return sekitar 5% per tahun, kira-kira 10 tahun lagi uangnya menjadi berapa?

Alur logika saya seperti ini, andaikan setiap awal bulan saya menabung 100.000 rupiah, maka pada akhir tahun ke-10 (bulan ke-120) kondisinya adalah

Setoran ke-1 = $100.000(1+\frac{0,05}{12}{)}^{120}=164.700,95$ (dapet bunga 120 bulan)

Setoran ke-2 = $100.000(1+\frac{0,05}{12}{)}^{119}=164.017,54$ (dapet bunga 119 bulan)

Setoran ke-3 = $100.000(1+\frac{0,05}{12}{)}^{118}=163.336,97$ (dapet bunga 118 bulan)

$\dots$

Setoran terakhir = $100.000(1+\frac{0,05}{12}{)}^1=100.416,67$ (cuma dapet bunga 1 bulan)

Maka ketika dijumlahkan dalam bentuk penjumlahan diskrit dapat ditulis dalam bentuk

$$ \sum^{120}_{k=1}{100.000(1+\frac{0,05}{12})^{k}} $$

Atau secara umum dapat ditulis dalam bentuk:

$$ FV=\sum^{n}_{k=1}{PMT\cdot(1+r)^k} $$

Ketika pertanyaan ini saya lempar ke ChatGPT, dia malah memberikan rumus ini:

$$ FV=PMT\cdot\frac{(1+r)^n-1}{r}(1+r) $$

Lah, kok beda?

Awalnya saya curiga bahwa ada sesuatu yang salah. Bisa jadi saya memiliki asumsi yang salah ketika membuat model penjumlahan. Bisa jadi ChatGPT yang salah menerjemahkan pertanyaan saya. Namun ketika saya coba hitung dengan dua persamaan yang berbeda tersebut, ternyata hasilnya sama persis.

Ternyata, ChatGPT menulis dalam bentuk closed form menggunakan pendekatan deret geometri yang biasa ditulis sebagai rumus FV (future value) di buku-buku manajemen keuangan. Sedangkan saya mencoba mencari solusi menggunakan logika penjumlahan diskrit, bentuk paling mirip dengan fungsi integral yang cukup sering digunakan dalam dunia teknik. Kami menceritakan hal yang sama, hanya dalam kalimat yang berbeda.

Ada hal baru yang saya pelajari lagi. Bahwa ternyata ada bentuk matematis yang namanya closed form. Sejauh yang saya pahami, closed form ini seperti menuliskan bentuk $\frac{a^2}{2}$ sebagai pengganti bentuk ${\int }_0^{a}xdx$. Entahlah apa analogi saya ini benar atau salah 🤔.

Ide-Ide Liar

Setelah memahami bahwa model penjumlahan diskrit dan rumus FV ternyata cerita yang sama dalam kalimat yang berbeda, rasa penasaran saya justru semakin menjadi. Pertanyaan saya lanjut menjadi:

Mengapa model ini bekerja? Apa yang menjadi asumsi dasar model ini?

Selama ini ternyata penghitungan nilai FV mengasumsikan bahwa suku bunga selalu konstan. Setiap bulan uang berkembang dengan faktor pertumbuhan yang sama, sehingga bentuk akhirnya menjadi deret geometri dan masih bisa disederhanakan lagi menjadi sebuah closed form untuk lebih mempermudah proses komputasi.

Bagaimana jika asumsi itu saya ubah?

Misalkan saya optimistis bahwa dalam jangka panjang tingkat suku bunga akan meningkat. Daripada selalu 5% per tahun, saya memodelkannya naik perlahan hingga 6% dalam dua puluh tahun. Bentuknya bisa ditulis dalam fungsi linear sederhana.

$$ r(k)=\frac{0,05}{12}+\frac{0,01}{12\cdot20}k $$

Kemudian muncul ide yang lebih aneh lagi. Dunia nyata sering kali tidak benar-benar bergerak secara linear. Banyak fenomena memiliki pola musiman. Bagaimana jika nilai suku bunga juga demikian? Misalnya setiap awal tahun berada di sekitar 6%, kemudian perlahan turun hingga 4% di pertengahan tahun sebelum kembali naik lagi di akhir tahun. Secara matematis, pola tersebut dapat dituliskan sebagai fungsi cosine.

$$ r(k)=\frac{0,05}{12}+\frac{0,01}{12}\cdot \cos{\bigg(\frac{k\cdot 2 \pi}{12}\bigg)} $$

Kalau dua ide tersebut digabungkan, hasilnya bahkan menjadi lebih menarik. Return memiliki tren jangka panjang sekaligus fluktuasi musiman.

$$ r(k)=\frac{0,05}{12}+\frac{0,01}{240}k+\frac{0,01}{12}\cdot \cos{\bigg(\frac{k\cdot 2 \pi}{12}\bigg)} $$

Sampai di titik ini saya masih merasa semuanya masih bisa diurut jalur logikanya. Tinggal buat fungsi sesuka hati untuk menentukan nilai suku bunga, lalu tinggal mengganti nilai $r$ yng konstan pada model sebelumnya menjadi sebuah fungsi $r(k)$.

$$ FV=\sum^{n}_{k=1}{PMT\cdot \big( 1 + r(k) \big)^k} $$

Terlihat seperti fungsi yang masuk akal dan cukup sederhana. Akan tetapi setelah saya coba lempar ke ChatGPT, jawabannya di luar ekspektasi saya. ChatGPT memberikan jawaban yang lebih menarik.

Pada model saya, suku bunga bulan ke-$k$ diperlakukan seolah-olah berlaku sepanjang umur investasi. Padahal uang yang disetor pada bulan pertama mengalami bunga bulan pertama, bulan kedua, bulan ketiga, dan seterusnya hingga bulan terakhir. Artinya, satu setoran tidak hanya "melihat" satu nilai $r(k)$, melainkan seluruh riwayat suku bunga setelah uang itu disimpan. Kalau interpretasi ini benar, maka bentuk matematikanya bukan lagi berupa pangkat, melainkan hasil kali bertingkat (product)

$$ \sum^n_{m=1}{\bigg[PMT \cdot \prod^n_{k=m}{\big(1+r(k)\big)}\bigg]} $$

Saya sendiri belum memverifikasi model ini. Rencana saya adalah membangun simulasi sederhana di Excel untuk membandingkan hasilnya dengan perhitungan manual. Untuk sementara, saya menganggap bentuk tersebut sebagai hipotesis yang masuk akal, bukan sebagai sesuatu yang sudah terbukti benar.

Lebih jauh lagi, saya juga kepikiran apajah fungsi $r(k)$ bisa ditulis dalam berbagai bentuk? Misalnya $r(k)$ ditulis sebagai bentuk persamaan eksponensial, logaritmik, atau bahkan fungsi piecewise? Ataukah ada fungsi-fungsi yang tidak bisa digunakan untuk membentuk persamaan $r(k)$? Kalo ada, jenis fungsi apa saja yang akan gagal membentuk $r(k)$?🤔

Okay, sebelum terjebak terlalu jauh, mending saya cukupkan dulu imajinasi saya di titik ini. Mari sekarang mencari konklusi.

Matematika Sebagai Bahasa untuk Memodelkan Fenomena

Dari eksperimen kecil ini ada pelajaran baru yang somehow saya dapat tanpa diduga-duga.

Awalnya saya hanya ingin mengetahui berapa nilai tabungan setelah sepuluh tahun. Namun semakin saya mencoba mengubah asumsi (bunga konstan, bunga yang meningkat secara linear, hingga bunga yang bersifat musiman), semakin saya menyadari bahwa yang sebenarnya berubah bukanlah rumusnya¹ , melainkan modelnya.

Di titik ini saya benar-benar melihat matematika sebagai sebuah bahasa. Sejak dulu saya mendoktrinasi diri sendiri bahwa Matematika adalah bahasa, bukan ilmu hitung. Tapi di titik ini, jargon saya itu baru benar-benar terasa.

Sigma bukan sekadar simbol penjumlahan. Ia menyatakan bahwa sebuah hasil akhir merupakan akumulasi dari banyak kontribusi. Integral menyatakan bahwa sebuah besaran kontinu dapat dipandang sebagai akumulasi bagian-bagian yang sangat kecil. Product menyatakan bahwa sebuah nilai mengalami serangkaian faktor pertumbuhan secara berurutan. Setiap simbol memiliki "kata kerja"-nya sendiri untuk menggambarkan pola yang terjadi di dunia nyata.

Yang membuat matematika menarik bukan karena simbol-simbol tersebut rumit, tetapi karena simbol itu mampu merepresentasikan sebuah fenomena dengan cukup baik sehingga dapat dianalisis lebih lanjut.

Matematika Sebagai Pola Berpikir

Dari seluruh diskusi internal dengan diri sendiri ini, saya akhirnya menyadari bahwa matematika bukan hanya menghasilkan jawaban. Ia menawarkan sebuah cara berpikir.

The purpose of computing is insight, not numbers. (Richard Hamming, 1962)

Saya sempat mengira bahwa cukup mengganti konstanta menjadi fungsi $r(k)$. Secara aljabar tidak ada yang terasa janggal. Namun setelah dipikirkan kembali, ternyata saya sedang memodelkan fenomena yang berbeda. Yang berubah bukan lagi nilai suku bunganya, tetapi riwayat pertumbuhan setiap setoran. Kesalahan saya bukan berada pada manipulasi aljabar, melainkan pada cara memodelkan fenomenanya.

Mungkin di situlah letak nilai matematika yang sebenarnya. Sebelum melakukan perhitungan, saya dipaksa bertanya apa yang sebenarnya sedang saya modelkan? Apa arti setiap variabel? Asumsi apa yang sedang saya gunakan? Apakah model tersebut masih merepresentasikan fenomena yang sama?

Bagi saya, pertanyaan-pertanyaan tersebut jauh lebih menarik daripada angka hasil akhirnya. Karena pada akhirnya, perhitungan hanya mengikuti model. Yang menentukan kualitas jawaban justru adalah kualitas cara berpikir saat membangun model tersebut.

Dan kalau berpikir bahwa matematika adalah salah satu landasan pola berpikir, tiba-tiba saya menjadi sedih.

Tentang Hal Menyedihkan

Masih terngiang-ngiang sebuah video yang sempat saya tonton beberapa waktu lalu.

"Hari ini hari yang baik. Tanggal 10 bulan Juni. 10 + 6 = 17."

Bagi sebagian orang, mungkin ini hanya sebuah guyonan. Namun bagi saya, kalimat itu benar-benar menyayat hati. Ada dua hal yang saya kritisi.

Pertama, kesalahan aritmatika yang sangat mendasar.

Saya tidak beranggapan semua orang harus jago matematika. Tetapi saya melihat kemampuan matematika (bahkan di level dasar) sebagai cerminan proses berpikir. Kalau operasi yang paling sederhana saja sudah tidak konsisten, bagaimana saya bisa yakin ketika orang yang sama mulai berbicara tentang persoalan yang jauh lebih kompleks?

Ironisnya, saya sendiri baru saja menghabiskan beberapa jam memikirkan model pertumbuhan investasi. Berkali-kali saya mengubah asumsi, mencoba berbagai bentuk fungsi, bahkan akhirnya menyadari bahwa saya kemungkinan salah memodelkan persoalan sejak awal. Dari eksperimen kecil itu saya belajar bahwa kesalahan yang paling berbahaya bukanlah salah menghitung, melainkan salah membangun model. Sebuah model yang keliru tetap akan menghasilkan jawaban yang keliru, meskipun seluruh perhitungannya dilakukan dengan sangat presisi.

Apalagi kalau sama sekali gak pakai model 🙁.

Kedua, kecenderungan mencari hubungan sebab-akibat dari sesuatu yang sebenarnya hanya sebuah kebetulan.

Tanggal hanyalah sebuah konvensi. Satu tahun dibagi menjadi dua belas bulan juga merupakan kesepakatan. Demikian pula satu minggu yang dibagi menjadi tujuh hari. Tidak ada hubungan kausal yang membuat kombinasi angka-angka tersebut secara otomatis menentukan baik atau buruknya sebuah hari.

Kalau semua itu hanya dijadikan bahan bercanda untuk mencairkan suasana, saya tidak terlalu mempermasalahkannya. Namun ketika pola-pola seperti ini mulai diulang berkali-kali, lalu dijadikan pembenaran atau bahkan dasar dalam mengambil keputusan, saya merasa ada sesuatu yang tidak beres.

Mungkin karena itulah saya menjadi sedih. Bukan karena ada orang yang pernah mengatakan bahwa "10 + 6 = 17". Melainkan karena saya baru saja merasakan sendiri betapa sulitnya membangun sebuah model yang benar, bahkan untuk persoalan tabungan yang sangat sederhana. Jika pada persoalan sesederhana itu saja saya harus berhati-hati terhadap asumsi dan logika, saya tidak bisa membayangkan apa yang terjadi ketika keputusan-keputusan yang memengaruhi banyak orang dibangun di atas cara berpikir yang sejak awal tidak konsisten.

Semoga saya berlebihan. Saya sungguh berharap demikian 😭.

Terima kasih sudah membaca.

Edit: Bagian kedua ada di sini